3.457 \(\int \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \tanh ^5(e+f x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=187 \[ \frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)^2}-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 f (a-b)^{3/2}}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 f (a-b)^2} \]

[Out]

-((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((8*a^2 -
24*a*b + 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)^2*f) + ((8*a - 7*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f
*x]^2)^(3/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*(a - b)*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.22461, antiderivative size = 187, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {3194, 89, 78, 50, 63, 208} \[ \frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)^2}-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 f (a-b)^{3/2}}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 f (a-b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^5,x]

[Out]

-((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*(a - b)^(3/2)*f) + ((8*a^2 -
24*a*b + 15*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)^2*f) + ((8*a - 7*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f
*x]^2)^(3/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(4*(a - b)*f)

Rule 3194

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Dist[ff^((m + 1)/2)/(2*f), Subst[Int[(x^((m - 1)/2)*(a + b*ff*x)^p)/(1 - ff*x)^((
m + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 89

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((b*c - a*
d)^2*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), x] - Dist[1/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), In
t[(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d^2*f*(n + p + 2) + b^2*c*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - 2*a*b*d*(d*e*
(n + 1) + c*f*(p + 1)) - b^2*d*(d*e - c*f)*(n + 1)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (LtQ
[n, -1] || (EqQ[n + p + 3, 0] && NeQ[n, -1] && (SumSimplerQ[n, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1])))

Rule 78

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f
)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1)
+ c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ
[p, n]))))

Rule 50

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n)/(b*
(m + n + 1)), x] + Dist[(n*(b*c - a*d))/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (G
tQ[m, 0] && LtQ[m - n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \tanh ^5(e+f x) \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2 \sqrt{a+b x}}{(1+x)^3} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{2 f}\\ &=-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (\frac{1}{2} (-4 a+3 b)+2 (a-b) x\right ) \sqrt{a+b x}}{(1+x)^2} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 (a-b) f}\\ &=\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{1+x} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 (a-b)^2 f}\\ &=\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 (a-b) f}\\ &=\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}\right )}{8 (a-b) b f}\\ &=-\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 (a-b)^{3/2} f}+\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{4 (a-b) f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.571949, size = 151, normalized size = 0.81 \[ -\frac{\left (8 a^2-24 a b+15 b^2\right ) \left (\sqrt{a-b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )-\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}\right )+2 (a-b) \text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}-(8 a-7 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{8 f (a-b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*Tanh[e + f*x]^5,x]

[Out]

-(-((8*a - 7*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)) + 2*(a - b)*Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x
]^2)^(3/2) + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*(Sqrt[a - b]*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]] - Sqrt[a
+ b*Sinh[e + f*x]^2]))/(8*(a - b)^2*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.341, size = 43, normalized size = 0.2 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({\frac{ \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{5}}{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{6}}\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)*tanh(f*x+e)^5,x)

[Out]

`int/indef0`((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)*sinh(f*x+e)^5/cosh(f*x+e)^6,sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \tanh \left (f x + e\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*tanh(f*x + e)^5, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 9.01519, size = 12141, normalized size = 64.93 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/16*(((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 9*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8
+ (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^9 + 4*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 4*(9*(8*a^2 - 24*
a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^7 + 28*(3*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cos
h(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 6*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x
+ e)^5 + 6*(21*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 14*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a
^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(63*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 70*(8*a^2 - 24*a*b +
15*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 15*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^4 + 4*(8*a^2 - 24*a*b + 1
5*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(21*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 35*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f
*x + e)^4 + 15*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^3 + 12*(3*(8
*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 7*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(8*a^2 - 24*a*b + 15
*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*c
osh(f*x + e) + (9*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 28*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 3
0*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 12*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b +
15*b^2)*sinh(f*x + e))*sqrt(a - b)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e
)^4 + 2*(4*a - 3*b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 4*a - 3*b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*sqrt(2)*sqrt(a -
b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) +
sinh(f*x + e)^2))*(cosh(f*x + e) + sinh(f*x + e)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (4*a - 3*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x
+ e) + b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 + 1)*si
nh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 + cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) - 4*sqrt(2)*(2*(a^
2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 16*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + 2*(a^2 - 2*a*b + b^2
)*sinh(f*x + e)^8 + (16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + (56*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 16*
a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + 2*(56*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b
^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + (140*(a^2 - 2*a*b + b^2)*c
osh(f*x + e)^4 + 15*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 20*a^2 - 42*a*b + 22*b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4
*(28*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 2*(10*a^2 - 21*a*b +
11*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (56*(a^2 - 2*a*b + b^2)
*cosh(f*x + e)^6 + 15*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 12*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e)
^2 + 16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 4*a*b + 2*b^2 + 2*(8*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e
)^7 + 3*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 4*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^2 -
33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*
x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/((a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^9 + 9*(a^2
- 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*sinh(f*x + e)^9 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)
*f*cosh(f*x + e)^7 + 4*(9*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^7 + 6*(
a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 28*(3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cos
h(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 6*(21*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 14*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x
+ e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^5 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 2*(63*(a^2 - 2*a*b
+ b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 70*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 15*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))
*sinh(f*x + e)^4 + 4*(21*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 35*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 15
*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f
*x + e) + 12*(3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 5*(a^2 - 2*a
*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (9*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*
cosh(f*x + e)^8 + 28*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 30*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 12*(a^
2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)), -1/8*(((8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*c
osh(f*x + e)^9 + 9*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*
x + e)^9 + 4*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 4*(9*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^
2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^7 + 28*(3*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*
b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 6*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 6*(21*(8*a^2 - 24*a*b + 15
*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 14*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^
5 + 2*(63*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 70*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 15*(8*a^2
- 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^4 + 4*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 4*(21*(8*a^
2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 35*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 15*(8*a^2 - 24*a*b + 15*
b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e)^3 + 12*(3*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e
)^7 + 7*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 24*
a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e) + (9*(8*a^2 - 24*a*b +
15*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 28*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 30*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x
+ e)^4 + 12*(8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 24*a*b + 15*b^2)*sinh(f*x + e))*sqrt(-a + b)*
arctan(-1/2*sqrt(2)*sqrt(-a + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*c
osh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/((a - b)*cosh(f*x + e) + (a - b)*sinh(f*x + e))) - 2*sqrt(2)*(2
*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 16*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + 2*(a^2 - 2*a*b +
b^2)*sinh(f*x + e)^8 + (16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + (56*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 +
16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + 2*(56*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(16*a^2 - 33*a*b +
17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + 2*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + (140*(a^2 - 2*a*b + b^
2)*cosh(f*x + e)^4 + 15*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 20*a^2 - 42*a*b + 22*b^2)*sinh(f*x + e)^4
+ 4*(28*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 2*(10*a^2 - 21*a
*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + (16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (56*(a^2 - 2*a*b +
b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 12*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x
+ e)^2 + 16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^2 + 2*a^2 - 4*a*b + 2*b^2 + 2*(8*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x
+ e)^7 + 3*(16*a^2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 4*(10*a^2 - 21*a*b + 11*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (16*a^
2 - 33*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cos
h(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/((a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^9 + 9*(
a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^8 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*sinh(f*x + e)^9 + 4*(a^2 - 2*a*b +
b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 4*(9*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^7 +
6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 28*(3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f
*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 6*(21*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 14*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(
f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^5 + 4*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 2*(63*(a^2 - 2
*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 70*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + 15*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e)^4 + 4*(21*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 35*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4
+ 15*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*co
sh(f*x + e) + 12*(3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^7 + 7*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^5 + 5*(a^2 -
2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (9*(a^2 - 2*a*b + b^2
)*f*cosh(f*x + e)^8 + 28*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^6 + 30*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^4 + 12
*(a^2 - 2*a*b + b^2)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*f)*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)**2)**(1/2)*tanh(f*x+e)**5,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \tanh \left (f x + e\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*tanh(f*x + e)^5, x)